sábado, 4 de diciembre de 2010

El número Áureo, divina proporción




El número de oro, número dorado, sección áurea, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción, representado por la letra griega F (fi) (en honor al escultor griego Fidias), es el número irracional:
Se trata de un número que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en las partes de un cuerpo, y en la naturaleza como relación entre cuerpos, en la morfología de diversos elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, proporciones humanas, etc.


El número áureo o la proporción áurea se estudió desde la antigüedad, ya que aparece regularmente en geometría. Se conoce ya de su existencia en los pentágonos regulares y pentáculos de las tabletas sumerias de alrededor del 3200 a. C.



La sección Áurea

La sección áurea es la división armónica de una segmento en media y extrema razón. Es decir, que el segmento menor es al segmento mayor, como este es a la totalidad. De esta manera se establece una relación de tamaños con la misma proporcionalidad entre el todo dividido en mayor y menor. Esta proporción o forma de seleccionar proporcionalmente una línea se llama proporción áurea.

Tomemos un segmento de longitud uno y hagamos en el la división indicada anteriormente


Aplicando la proporción áurea obtenemos la siguiente ecuación que tendremos que resolver





Una de las soluciones de esta ecuación (la solución positiva) es

Lo sorprendente ahora es calcular el valor que se obtiene al dividir el segmento mayor entre el menor,




Es decir, la relación entre las dos partes en que dividimos el segmento es el número de oro: f .


El rectángulo áureo

Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo.

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Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectángulo vale 2f por lo que la proporción entre los dos lados es f

Obtenemos así un rectángulo cuyos lados están en proporción áurea. A partir de este rectángulo podemos construir otros semejantes que, como veremos mas adelante, se han utilizando en arquitectura (Partenón, pirámides egipcias) y diseño (tarjetas de crédito, carnets, cajetillas de tabaco, etc...).

Una propiedad importante de los triángulos áureos es que cuando se colocan dos iguales como indica la figura, la diagonal AB pasa por el vértice C.




Pitágoras y el número de oro


Pitágoras (c. 582-c. 500 a.C.), filósofo y matemático griego, nació en la isla de Samos. Fue instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Se dice que Pitágoras había sido condenado a exiliarse de Samos por su aversión a la tiranía de Polícrates. Hacia el 530 a.C. se instaló en Crotona, una colonia griega al sur de Italia, donde fundó un movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido como pitagorismo. La filosofía de Pitágoras se conoce sólo a través de la obra de sus discípulos.

Los pitagóricos asumieron ciertos misterios, similares en muchos puntos a los enigmas del orfismo. Aconsejaban la obediencia y el silencio, la abstinencia de consumir alimentos, la sencillez en el vestir y en las posesiones, y el hábito del autoanálisis. Los pitagóricos creían en la inmortalidad y en la trasmigración del alma. Se dice que el propio Pitágoras proclamaba que él había sido Euphorbus, y combatido durante la guerra de Troya, y que le había sido permitido traer a su vida terrenal la memoria de todas sus existencias previas.

Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los pitagóricos se encuentran sus estudios de los números pares e impares y de los números primos y de los cuadrados, esenciales en la teoría de los números. Desde este punto de vista aritmético, cultivaron el concepto de número, que llegó a ser para ellos el principio crucial de toda proporción, orden y armonía en el universo. A través de estos estudios, establecieron una base científica para las matemáticas. En geometría el gran descubrimiento de la escuela fue el teorema de la hipotenusa, conocido como teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

Una revuelta provocada en Crotona, por una asociación de ideas contrarias a las pitagóricas, terminó con el incendio de la sede. Se cree que Pitágoras se vio obligado a huir de Crotona y murió en Metaponto. La persecución de los pitagóricos provocó el éxodo a la Grecia Continental, dando lugar a la difusión de las ideas pitagóricas.




La estrella pentagonal o pentágono estrellado era, según la tradición, el símbolo de los seguidores de Pitágoras. Los pitagóricos pensaban que el mundo estaba configurado según un orden numérico, donde sólo tenían cabida los números fraccionarios. La casualidad hizo que en su propio símbolo se encontrara un número raro: el numero de oro.







Por ejemplo, la relación entre la diagonal del pentágono y su lado es el número de oro











También podemos comprobar que los segmentos QN, NP y QP están en proporción áurea.











La sucesión de Fibonacci

Consideremos la siguiente sucesión de números:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...

Cada número a partir del tercero, se obtiene sumando los dos que le preceden. Por ejemplo, 21 = 13 + 8; el siguiente a 34 será 34 + 21 = 55.

Esta sucesión es la llamada "sucesión de Fibonacci"*.

*Es el sobrenombre con el que se conoció al rico comerciante Leonardo de Pisa (1170-1240). Viajó por el Norte de África y Asia y trajo a Europa algunos de los conocimientos de la cultura árabe e hindú, entre otros la ventaja del sistema de numeración arábigo (el que usamos) frente al romano.

La sucesión de Fibonacci presenta diversas regularidades numéricas. Para que resulte más sencillo las hemos enunciado en casos particulares (aunque se cumplen en general) y hemos calculado los primeros catorce términos de esta sucesión:


  • Si sumas los cuatro primeros términos y añades 1, te sale el sexto (1+1+2+3 + 1 = 8). Si sumas los cinco primeros términos y añades 1, te sale el séptimo (1+1+2+3+5 + 1 = 13).

  • Si sumas los tres primeros términos que ocupan posición impar (t1, t3, t5) sale el sexto término (t6), (1+2+5 = 8). Si sumas los cuatro primeros términos que ocupan posición impar (t1, t3, t5, t7) sale el octavo término ( t8), (1+2+5+13 = 21).

  • Si sumas los tres primeros términos que ocupan posición par (t2, t4, t6) y añades 1, sale el séptimo término ( t7), (1+3+8 + 1 =13). Si sumas los cuatro primeros términos que ocupan posición par (t2, t4, t6, t8) y añades 1, sale el noveno término ( t9), (1+3+8+21 + 1 =34).

¡Aún las hay más difíciles de imaginar!

  • Tomemos dos términos consecutivos, por ejemplo: t4=3 y t5=5; elevando al cuadrado y sumando: 32 + 52=9+25=34 que es el noveno (4+5) término de la sucesión. Tomando t6=8 y t7=13; elevando al cuadrado y sumando: 82 + 132 = 64 + 169 = 233 que es el (6+7) decimotercer término de la sucesión.

  • Pero si elevamos al cuadrado los cinco primeros términos y los sumamos, sale el producto del quinto y el sexto término: 12 + 12 + 22 + 32 + 52 = 40 = 5*8. Si hacemos lo mismo para los seis primeros términos, sale el producto del sexto y el séptimo término: 12 + 12 + 22 + 32 + 52 + 82 = 8*13.

Y quizás la más sorprendente sea la siguiente propiedad. Dividamos dos términos consecutivos de la sucesión, siempre el mayor entre el menor y veamos lo que obtenemos:

Al tomar más términos de la sucesión y hacer su cociente nos acercamos al número de oro.


Cuanto mayores son los términos, los cocientes se acercan más a f = 1,61803.... En lenguaje matemático:

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